Jacques Bernoulli

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Biographie

Jacques ou Jakob Bernoulli (1654-1705) est un mathématicien et physicien suisse (né et mort à Bâle), frère de Jean Bernoulli et oncle de Daniel Bernoulli et Nicolas Bernoulli.

Il rencontre Robert Boyle et Robert Hooke lors d'un voyage en Angleterre en 1676. Après cela, il se consacre à la physique et aux mathématiques. Il enseigne à l'université de Bâle à partir de 1682, devenant professeur de mathématiques en 1687. Il mérita par ses travaux et ses découvertes d'être nommé associé de l'Académie des sciences de Paris (1699) et de celle de Berlin (1702).

Sa correspondance avec Gottfried Wilhelm Leibniz le conduit à étudier le calcul infinitésimal en collaboration avec son frère Jean. Il fut un des premiers à comprendre et à appliquer le calcul différentiel et intégral, proposé par Leibniz, découvrit les propriétés des nombres dits depuis nombres de Bernoulli et donna la solution de problèmes regardés jusque-là comme insolubles.

Les premières contributions importantes de Jacques Bernoulli sont une étude publiée en 1685 dans laquelle il établit des parallèles entre la logique et l'algèbre, un travail sur les probabilités en 1685 et un sur la géométrie en 1687 dans lequel il donne une construction pour diviser un triangle en quatre parties égales par deux droites perpendiculaires.

En 1689, il publie un important travail sur les séries infinies et sa loi des grands nombres dans la théorie des probabilités. Jacques Bernoulli a publié cinq traités sur les séries infinies entre 1682 et 1704. Les deux premiers de ces traités contiennent de nombreux résultats, tel que le résultat fondamental selon lequel la série sum 1/n diverge. Bernoulli croyait que ce résultat était nouveau, mais il avait été effectivement prouvé par Pietro Mengoli 40 ans plus tôt. Bernoulli n'a pu trouver la valeur exacte de sum 1/n^2 , mais il a montré qu'il y avait convergence vers une limite finie inférieure à 2. Euler a été le premier à trouver la somme de cette série en 1737. Bernoulli a également étudié les séries d'exponentielles dont il a eu besoin pour le calcul des intérêts composés.

En mai 1690 dans un article publié dans Acta Eruditorum, Jacques Bernoulli a montré que le problème de la détermination de la courbe isochrone est équivalent à la résolution d'une équation différentielle non linéaire du premier ordre. L'isochrone, ou courbe de descente constante, est la courbe le long de laquelle une particule va descendre par gravité depuis n'importe quel point jusqu'à l'extrémité exactement dans le même temps, quel que soit le point de départ. Ce problème avait été étudié par Huygens en 1687 et Leibniz en 1689. Après avoir trouvé l'équation différentielle, Bernoulli a alors résolu l'équation par ce que nous appelons maintenant la séparation des variables. L'article de Jacques Bernoulli de 1690 est important pour l'histoire du calcul, car le mot d'intégrale apparait pour la première fois avec son sens de l'intégration. En 1696, Bernoulli a résolu l'équation, maintenant appelé l'équation différentielle de Bernoulli :

y' = p(x)y + q(x)y^n.

Jacques Bernoulli a également découvert une méthode générale pour déterminer la développée d'une courbe comme lieu des centres de courbure. Il a également étudié les caustiques et en particulier, il a étudié les courbes associées à la parabole, à la spirale logarithmique et aux épicycloïdes autour de 1692. La lemniscate de Bernoulli a été conçue par Jacques Bernoulli en 1694. En 1695, il a étudié le problème du pont-levis où l'on cherche la courbe requise de sorte que le poids coulissant le long du câble garde toujours le pont-levis équilibré.

L'oeuvre la plus originale de Jacques Bernoulli a été Ars Conjectandi publié à Bâle en 1713, huit ans après sa mort. Le travail était inachevé au moment de sa mort, mais il est encore le travail le plus important pour la théorie des probabilités. Dans ce livre, Bernoulli passe en revue les travaux des autres auteurs sur les probabilités, en particulier les travaux de van Schooten, Leibniz, et Prestet (en). Les nombres de Bernoulli apparaissent dans ce livre lors d'une discussion sur la série exponentielle. De nombreux exemples sont donnés sur combien on pourrait s'attendre à gagner en jouant divers jeux de hasard. Le concept de processus de Bernoulli est issu de ce travail. Il y a des pensées intéressantes sur ce que les probabilités sont vraiment.

Bernoulli a été l'un des promoteurs les plus importants des méthodes formelles de l'analyse mathématique. L'astuce et l'élégance sont rarement présentes dans sa façon de présenter et de rédiger, mais on y trouve un maximum de rigueur.

Bernoulli a découvert la constante e par l'étude d'une question concernant les intérêts composés où il fallait trouver la valeur de l'expression suivante (qui est en fait e) :

lim_{ntoinfty} left( 1 + frac{1}{n} right)^n.

Soit comme exemple, un compte qui a pour valeur initiale 1 € et rapporte 100 pour cent d'intérêt par an. Au bout d'un an, le compte est de 2 € ; mais si l'intérêt est composé chaque six mois, 1 € est multiplié par 1,5, ce qui donne 1 € × 1,52 = 2,25 €. Si l'intérêt est composé chaque trimestre, 1 € × 1,254 = 2,4414... € et s'il est mensuel, 1 € × (1,08333333...)12 = 2,613035... €.

Bernoulli a remarqué que cette suite tend vers une limite (le taux d'intérêt effectif) lorsque les intervalles deviennent de plus en plus petits. Pour un intérêt composé chaque semaine, on trouve 2,692597 € ..., pour un intérêt composé chaque jour, on trouve 2,714567 € ... Si n est le nombre d'intervalles de composition, avec un intérêt de 100%/n pour chaque intervalle, la limite lorsque n devient grand, est le nombre d'Euler qui par la suite a été noté e. Pour des intérêts composés continûment, la valeur du compte atteindra 2,7182818 € ... Plus généralement, un compte dont la valeur initiale est 1 €, et un taux de R euros, aura au bout d'un an la valeur finale eR euros lorsqu'on découpe l'année en une infinité de périodes de composition infiniment courtes.

Son oeuvre majeure est Ars Conjectandi publiée après sa mort à Bâle en 1713, avec une préface de son neveu Nicolas Bernoulli. Il y pose les principes du calcul des probabilités et introduit les nombres de Bernoulli.

Il a aussi laissé des Mémoires, réunis sous le titre de Jacobi Bernouilli Opera, Genève, 1744, 2 volumes in-4.

Tombe

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